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<출처>
http://mskyt.tistory.com/78
* 정사각 행렬에만 적용됩니다.
1. 정의
행렬 A에 대하여, λ 와 column vector x가 위 관계를 만족할 때, λ 를 eigenvalue, x를 eigenvector라고 합니다. linear transform을 한 후에도 그 방향이 유지되는 벡터들 입니다.
2. 특성방정식 characteristic equation(polynomial)
zero vector가 아닌 x가 존재하기 위해서는 A- λ I 행렬이 singular여야 하므로, 아래와 같은 방정식을 만족해야합니다. 이 방정식을 특성방정식이라고 합니다.
이 특성방정식은 λ에 대해 n차 방정식이므로 최대 n개의 서로 다른해를 갖습니다. 일부 행렬에 대해서는 중근(degenerated)이나 허수인 eigenvalue가 있을 수 있습니다. 각각의 eigenvalue들에 대하여, A- λ I 의 null space를 구함으로써 eigenvector들을 구할 수 있습니다.
3. 대각화 diagonalization
아래와 같이 eigenvector들을 나열하여 matrix S와, eigenvalue들을 diagonal에 나열한 matrix Λ를 생각해볼 때,
eigenvalue와 eigenvector의 정의에 따라,
행렬 A를 다시 표현하면 다음과 같이 나타낼수 있고, 이를 대각화라고 합니다.
대각화를 통해 A^n 및 A^-1의 계산을 간편하게 할 수 있습니다.
4. Diagonalizability
특성방정식에 중근이 없어, n개의 서로다른 eigenvalue들이 존재한다면 n개의 independent한 eigenvector들을 구할 수 있고, 대각화가 가능합니다.
특성방정식에 중근이 있다면, independent한 eigenvector들은 n개가 될 수도 있고, 안 될 수도 있습니다. eigenvector들이 n개보다 적다면 대각화가 불가능하고, diagonal matrix와 비슷한 Jordan form으로 바꿀 수 있습니다.
initial condition u0에 대하여 일반해는 다음과 같이 주어지며, 대각화를 통해 좀더 쉽게 계산할 수 있습니다.
대각화 공식을 통해 알수 있듯이, 모든 eigenvalue들의 크기가 1보다 작을때 (특성방정식의 모든 해가 단위원안에 있을때) system이 수렴하게 됩니다.
5-2. continuous time : 미분방정식
일반적인 물리방정식과 같인 continuous time domain에서 evolve하는 시스템은 다음과 같은 다변수 1차 ODE로 나타낼 수 있습니다.
1변수 ODE와 마찬가지로 다음과 같은 exponential solution이 가능합니다.
일반적인 matrix exponential은 Taylor expansion을 사용하여 같이 정의 될 수 있습니다.
위 solution에서 diagonal matrix의 exponential은 다음과 같이 쉽게 계산됩니다.
이 시스템은 모든 eigenvalue들의 실수부가 음수일 때 (특성방정식의 모든해가 왼쪽 평면에 있을때) 수렴하게 됩니다.
6. linear transform과 대각화
linear transform으로써 행렬 A를 고려할때, 대각화를 기하학적으로 생각해볼 수 있습니다. 특히 eigenvector들을 normalize했을때 S와 S의 역행렬은 basis를 바꾸는 operation으로 이해할 수 있습니다.
따라서 이러한 linear transform은 특정 basis로 축을 바꾸고, 축에 따라 scaling을 한 뒤, 다시 basis를 원래대로 돌려놓는 변환으로 생각할 수 있습니다. scaling이라는 것은 각각의 column 및 row가 independent하게 동작하는
7. 대칭 행렬의 대각화
A가 실수 행렬이면서 대칭행렬이거나, A가 복소수를 포함하는 행렬이면서 Hermitian 행렬일때 다음과 같은 사실들이 성립합니다.
7-1. 모든 eigenvalue들이 실수
7-2. eigenvector들이 orthogonal
대칭행렬들에 대해서는 eigenvector들이 서로 orthogonal합니다. eigenvector들을 normalize시켰다면 eigenvector matrix S는 orthonormal matrix가 되고, 대각화를 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
http://mskyt.tistory.com/78
* 정사각 행렬에만 적용됩니다.
1. 정의
2. 특성방정식 characteristic equation(polynomial)
1의 정의를 조금 변형한 아래 공식과 같이 변형할 수 있습니다.
zero vector가 아닌 x가 존재하기 위해서는 A- λ I 행렬이 singular여야 하므로, 아래와 같은 방정식을 만족해야합니다. 이 방정식을 특성방정식이라고 합니다.
방정식의 계수들의 성질로써, eigenvalue들은 다음 성질들이 성립합니다.
3. 대각화 diagonalization
아래와 같이 eigenvector들을 나열하여 matrix S와, eigenvalue들을 diagonal에 나열한 matrix Λ를 생각해볼 때,
eigenvalue와 eigenvector의 정의에 따라,
행렬 A를 다시 표현하면 다음과 같이 나타낼수 있고, 이를 대각화라고 합니다.
대각화를 통해 A^n 및 A^-1의 계산을 간편하게 할 수 있습니다.
4. Diagonalizability
특성방정식에 중근이 없어, n개의 서로다른 eigenvalue들이 존재한다면 n개의 independent한 eigenvector들을 구할 수 있고, 대각화가 가능합니다.
특성방정식에 중근이 있다면, independent한 eigenvector들은 n개가 될 수도 있고, 안 될 수도 있습니다. eigenvector들이 n개보다 적다면 대각화가 불가능하고, diagonal matrix와 비슷한 Jordan form으로 바꿀 수 있습니다.
5-1. discrete time : 점화식
피보나치 수열과 같이 discrete time domain에서 evolve하는 시스템은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
initial condition u0에 대하여 일반해는 다음과 같이 주어지며, 대각화를 통해 좀더 쉽게 계산할 수 있습니다.
대각화 공식을 통해 알수 있듯이, 모든 eigenvalue들의 크기가 1보다 작을때 (특성방정식의 모든 해가 단위원안에 있을때) system이 수렴하게 됩니다.
일반적인 물리방정식과 같인 continuous time domain에서 evolve하는 시스템은 다음과 같은 다변수 1차 ODE로 나타낼 수 있습니다.
1변수 ODE와 마찬가지로 다음과 같은 exponential solution이 가능합니다.
일반적인 matrix exponential은 Taylor expansion을 사용하여 같이 정의 될 수 있습니다.
이 시스템은 모든 eigenvalue들의 실수부가 음수일 때 (특성방정식의 모든해가 왼쪽 평면에 있을때) 수렴하게 됩니다.
6. linear transform과 대각화
linear transform으로써 행렬 A를 고려할때, 대각화를 기하학적으로 생각해볼 수 있습니다. 특히 eigenvector들을 normalize했을때 S와 S의 역행렬은 basis를 바꾸는 operation으로 이해할 수 있습니다.
7. 대칭 행렬의 대각화
A가 실수 행렬이면서 대칭행렬이거나, A가 복소수를 포함하는 행렬이면서 Hermitian 행렬일때 다음과 같은 사실들이 성립합니다.
7-1. 모든 eigenvalue들이 실수
다음과 같이 conjugate 및 transpose의 성질을 이용하여, eigenvalue가 실수임을 증명할 수 있습니다.
7-2. eigenvector들이 orthogonal
대칭행렬들에 대해서는 eigenvector들이 서로 orthogonal합니다. eigenvector들을 normalize시켰다면 eigenvector matrix S는 orthonormal matrix가 되고, 대각화를 다음과 같이 표현할 수 있습니다.